GermanWikipedia - /page/entry.mu

<!DOCTYPE html>

<title>Beweis (Mathematik)</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Beweis (Mathematik)</h1>

</header>

</div>

Ein Beweis ist in der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> die als fehlerfrei anerkannte Herleitung der Richtigkeit bzw. der Unrichtigkeit einer Aussage aus einer Menge von <a href="Axiom" title="Axiom">Axiomen</a>, die als wahr vorausgesetzt werden, und anderen <a href="Logische_Aussage" class="mw-redirect" title="Logische Aussage">Aussagen</a>, die bereits bewiesen sind. Man spricht daher auch von axiomatischen Beweisen.

Umfangreichere Beweise von mathematischen Sätzen werden in der Regel in mehrere kleine Teilbeweise aufgeteilt, siehe dazu <a href="Satz_(Mathematik)" title="Satz (Mathematik)">Satz</a> und <a href="Hilfssatz" title="Hilfssatz">Hilfssatz</a>.

In der <a href="Beweistheorie" title="Beweistheorie">Beweistheorie</a>, einem Teilgebiet der <a href="Mathematische_Logik" title="Mathematische Logik">mathematischen Logik</a>, werden Beweise formal als <a href="Ableitung_(Logik)" title="Ableitung (Logik)">Ableitungen</a> aufgefasst und selbst als mathematische Objekte betrachtet, um etwa die Beweisbarkeit oder Unbeweisbarkeit von Sätzen aus gegebenen Axiomen selbst zu beweisen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Konstruktive_und_nicht-konstruktive_Beweise">Konstruktive und nicht-konstruktive Beweise</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Existenzbeweise">Existenzbeweise</h3></div>

Bei einem konstruktiven <a href="Existenzbeweis" class="mw-redirect" title="Existenzbeweis">Existenzbeweis</a> wird entweder die Lösung selbst genannt, deren Existenz zu zeigen ist, oder ein Verfahren angegeben, das

zur Lösung führt, das heißt, es wird eine Lösung konstruiert.

Bei einem nicht-konstruktiven Beweis wird anhand von Eigenschaften auf die Existenz einer Lösung

geschlossen. Manchmal wird sogar indirekt die Annahme, es gäbe keine Lösung, zum Widerspruch geführt, woraus

folgt, dass es eine Lösung gibt. Aus solchen Beweisen geht nicht hervor, wie man die Lösung gewinnt.

Ein einfaches Beispiel soll dies verdeutlichen.

Behauptung: Die <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=2x-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=2x-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f6f70128ee723ebf2eb1294290475e5665133cb9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.011ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=2x-1}" loading="lazy"> besitzt im Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,1]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,1]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.653ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,1]}" loading="lazy"> mindestens eine Nullstelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy">.

Konstruktiver Beweis: Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}=0{,}5}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}=0{,}5}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c25f0723109a344cbf227e1c4a6154dd1922c490.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.454ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}=0{,}5}" loading="lazy">. Dann gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0})=2\cdot x_{0}-1=2\cdot 0{,}5-1=1-1=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0})=2\cdot x_{0}-1=2\cdot 0{,}5-1=1-1=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ba687df907d6aa3bddff41436ced43fd7b11659.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:43.238ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0})=2\cdot x_{0}-1=2\cdot 0{,}5-1=1-1=0}" loading="lazy">. Ferner liegt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}=0{,}5}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}=0{,}5}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c25f0723109a344cbf227e1c4a6154dd1922c490.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.454ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}=0{,}5}" loading="lazy"> im Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,1]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,1]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.653ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,1]}" loading="lazy">. Damit ist die Behauptung bewiesen. Die

<a href="Nullstelle" title="Nullstelle">Nullstelle</a> ist sogar mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}=0{,}5}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}=0{,}5}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c25f0723109a344cbf227e1c4a6154dd1922c490.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.454ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}=0{,}5}" loading="lazy"> angegeben.

Nicht-konstruktiver Beweis: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> ist <a href="Stetig" class="mw-redirect" title="Stetig">stetig</a>. Ferner ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(0)=-1<0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(0)=-1<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/716d3c3eef06e85dca53841804db3201e571c1aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.58ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(0)=-1<0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(1)=1>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(1)=1>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3f1b607d1470541a52034dcf6e9dcbf8002f7d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.772ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(1)=1>0}" loading="lazy">. Nach dem

<a href="Zwischenwertsatz" title="Zwischenwertsatz">Zwischenwertsatz</a> für stetige Funktionen folgt die Behauptung. Über den Wert der Nullstelle liefert dieser Beweis jedoch keine Information.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mengenlehre">Mengenlehre</h3></div>

In der auf dem Axiomensystem <a href="Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre" title="Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre">ZFC</a> aufbauenden Mengenlehre nennt man Beweise nicht-konstruktiv, wenn sie das <a href="Auswahlaxiom" title="Auswahlaxiom">Auswahlaxiom</a> verwenden. Denn alle anderen Axiome von ZFC beschreiben, welche Mengen es gibt bzw. was man mit Mengen machen kann, und geben die konstruierten Mengen an. Nur das Auswahlaxiom postuliert die Existenz einer gewissen Auswahlmöglichkeit, ohne anzugeben, wie diese Auswahl auszuführen wäre. In der Anfangszeit der Mengenlehre war das Auswahlaxiom wegen seines nicht-konstruktiven Charakters heftig umstritten (der <a href="Mathematischer_Konstruktivismus" title="Mathematischer Konstruktivismus">mathematische Konstruktivismus</a> vermeidet bewusst das Auswahlaxiom), daher rührt seine Sonderstellung nicht nur in der abstrakten Mengenlehre, sondern auch bei Beweisen in anderen <a href="Teilgebiete_der_Mathematik" title="Teilgebiete der Mathematik">Teilgebieten der Mathematik</a>. In diesem Sinne gelten alle Beweise, die das <a href="Lemma_von_Zorn" title="Lemma von Zorn">Lemma von Zorn</a> verwenden, als nicht-konstruktiv, denn dieses Lemma ist äquivalent zum Auswahlaxiom.

Die gesamte Mathematik kann im Wesentlichen auf ZFC aufgebaut und im Rahmen von ZFC bewiesen werden. Über die Grundlagen der Mengenlehre legt der arbeitende Mathematiker in der Regel keine Rechenschaft ab, lediglich die Verwendung des Auswahlaxioms findet Erwähnung, in der Regel in der Form des Lemmas von Zorn. Darüber hinausgehende mengentheoretische Annahmen werden stets angegeben, zum Beispiel wenn man die <a href="Kontinuumshypothese" title="Kontinuumshypothese">Kontinuumshypothese</a> oder ihre Negation verwendet.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Formale_Beweise">Formale Beweise</h2></div>

Formale Beweise reduzieren die Beweisschritte auf eine Reihe definierter Operationen auf Zeichenketten. Solche Beweise können in der Regel nur mit <a href="Maschinengest%C3%BCtztes_Beweisen" title="Maschinengestütztes Beweisen">Maschinenunterstützung</a> erstellt werden (siehe etwa <a href="Coq_(Software)" class="mw-redirect" title="Coq (Software)">Coq (Software)</a>) und sind für Menschen kaum lesbar, schon allein die Übertragung der zu beweisenden Sätze in eine rein formale Sprache führt zu sehr langen, umständlichen und unverständlichen Zeichenketten. Eine Reihe bekannter Sätze wurde inzwischen formalisiert und deren formaler Beweis maschinell überprüft.

In der Regel genügt den Mathematikern jedoch die Gewissheit, dass ihre Argumentationsketten prinzipiell in formale Beweise übertragbar wären, ohne dass dies tatsächlich ausgeführt wird, sie verwenden die im Folgenden vorgestellten Beweismethoden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beweismethoden">Beweismethoden</h2></div>

Einige mathematische Sätze oder logische <a href="Schlussregel" title="Schlussregel">Schlussregeln</a> lassen sich für eine Vielzahl von Beweisen einsetzen und beeinflussen die Struktur des Beweises besonders stark. Die systematische Vorgehensweise zur Anwendung dieser bezeichnet man dann als Beweismethode, Beweisverfahren, Beweistechnik oder Beweisprinzip. Die Gültigkeit einer Beweismethode bedarf selbst eines Beweises, im Rahmen der Axiome und der Logik gültig zu sein (etwa ist die <a href="Reductio_ad_absurdum" title="Reductio ad absurdum">Reductio ad absurdum</a> [s. u.] in der Grundform nicht in <a href="Intuitionistische_Logik" class="mw-redirect" title="Intuitionistische Logik">intuitionistischer Logik</a>, und eine transfinite Induktion über alle <a href="Kardinalzahl_(Mathematik)" title="Kardinalzahl (Mathematik)">Kardinalzahlen</a> nur unter Voraussetzung des <a href="Wohlordnungssatz" title="Wohlordnungssatz">Wohlordnungssatzes</a> möglich). Hier eine Auswahl von Standard-Beweismethoden:

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Direkter_Beweis">Direkter Beweis</h3></div>

Für einen direkten Beweis (direkter Schluss) nimmt man einen bereits als richtig bewiesenen Satz (Prämisse) und leitet, durch logische Schlussfolgerungen, daraus den zu beweisenden Satz (Konklusion) ab. Als einfaches Beispiel diene Folgendes:

Behauptung: Das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> ist stets ungerade.

Beweis: Es sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> eine ungerade natürliche Zahl. Das heißt, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> lässt sich darstellen als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=2k+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=2k+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8d78e073288d28d26412ff8156603893b649e4c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.87ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n=2k+1}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> eine natürliche Zahl oder Null ist. Daraus folgt mit Hilfe der <a href="Binomische_Formel" class="mw-redirect" title="Binomische Formel">ersten binomischen Formel</a>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1=2\cdot (2k^{2}+2k)+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/08c1ac2c87c53df797d881ebc3072360d5badc5b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:50.925ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle n^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1=2\cdot (2k^{2}+2k)+1}" loading="lazy">.</dd></dl>

Aus der Möglichkeit, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac9810bbdafe4a6a8061338db0f74e25b7952620.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.449ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle n^{2}}" loading="lazy"> so darzustellen folgt, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac9810bbdafe4a6a8061338db0f74e25b7952620.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.449ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle n^{2}}" loading="lazy"> ungerade ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Indirekter_Beweis">Indirekter Beweis</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Reductio_ad_absurdum" title="Reductio ad absurdum">Reductio ad absurdum</a></div>

Bei einem indirekten Beweis (Reductio ad absurdum, Widerspruchsbeweis) zeigt man, dass ein Widerspruch entsteht, wenn die zu beweisende Behauptung falsch wäre. Dazu nimmt man an, dass die Behauptung falsch ist, und wendet dann die gleichen Methoden wie beim direkten Beweis an. Wenn daraus ein Widerspruch entsteht, dann kann die Behauptung nicht falsch sein, also muss sie richtig sein (<a href="Satz_vom_ausgeschlossenen_Dritten" title="Satz vom ausgeschlossenen Dritten">Satz vom ausgeschlossenen Dritten</a>).

Nun ein Beispiel für eine reductio ad absurdum:

Behauptung: Ist die Wurzel aus einer geraden natürlichen Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> eine natürliche Zahl, so ist diese gerade.

Beweis: Angenommen, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {n}}=k}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {n}}=k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67396124f4b35df326dfe5889ab60dccc697c2b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.64ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {n}}=k}" loading="lazy"> wäre ungerade. Dann ist auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k^{2}=n}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k^{2}=n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/08e3f3193dee7157d01facbea55822ff88764e21.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.759ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle k^{2}=n}" loading="lazy"> ungerade (siehe obiges Beispiel zum direkten Beweis), und das ist ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> gerade ist. Also ist die getroffene Annahme falsch, das heißt, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {n}}}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {n}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a2994734eae382ce30100fb17b9447fd8e99f81.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.331ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {n}}}" loading="lazy"> ist gerade.

Ein weiteres klassisches Beispiel:

Behauptung: Die Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2}}}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4afc1e27d418021bf10898eb44a7f5f315735ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.098ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2}}}" loading="lazy"> ist <a href="Irrationale_Zahl" title="Irrationale Zahl">irrational</a>.

Beweis: Angenommen, diese Zahl wäre rational. Dann kann man sie als Bruch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2}}={\tfrac {l}{k}}}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2}}={\tfrac {l}{k}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6083581ed9f9d672f026839ea8f5de68e91d97f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:7.889ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2}}={\tfrac {l}{k}}}" loading="lazy"> darstellen, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.693ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle l}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> natürliche Zahlen und <a href="Ohne_Beschr%C3%A4nkung_der_Allgemeinheit" title="Ohne Beschränkung der Allgemeinheit">ohne Beschränkung der Allgemeinheit</a> <a href="Teilerfremdheit" title="Teilerfremdheit">teilerfremd</a> sind (sonst kann man den Bruch soweit kürzen, bis das der Fall ist). Daraus folgt durch Quadrieren

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2={\frac {l^{2}}{k^{2}}}\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5df1b7ac72d9b2f084504665b65963e97f479c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:7.75ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle 2={\frac {l^{2}}{k^{2}}}\,}" loading="lazy"> , also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \,l^{2}=2k^{2}.}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,l^{2}=2k^{2}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/888ba3965a2e4100e9ec20eb3eb5778c06158788.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.308ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \,l^{2}=2k^{2}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Folglich ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d87c123d31160a9e22122d5cfbe786a5c96372de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.748ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle l^{2}}" loading="lazy"> eine gerade Zahl. Da die Wurzel aus einer geraden Quadratzahl auch gerade ist (siehe vorangegangene Behauptung), ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.693ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle l}" loading="lazy"> selbst gerade, also ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {l}{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {l}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3d6695e3d57165534c20a1a330aa8a106f462c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:1.658ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {l}{2}}}" loading="lazy"> eine natürliche Zahl.

Durch Umformung der letzten Gleichung erhält man

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k^{2}={\frac {l^{2}}{2}}=2\cdot \left({\frac {l}{2}}\right)^{2}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8f58d9b68ec92f48d4b943ce2c12c28c1407fd3a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:21.008ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle k^{2}={\frac {l^{2}}{2}}=2\cdot \left({\frac {l}{2}}\right)^{2}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Das zeigt, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af6423cd00e3559de92c4bc497066ff1b12bbfc3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.265ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle k^{2}}" loading="lazy"> und somit auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> gerade natürliche Zahlen sind. Also sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.693ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle l}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> beide gerade und haben somit beide den Teiler 2. Damit sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.693ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle l}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> nicht teilerfremd – im Widerspruch zu der Annahme ihrer Teilerfremdheit. Also ist auch die ursprüngliche Annahme, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2}}}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4afc1e27d418021bf10898eb44a7f5f315735ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.098ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2}}}" loading="lazy"> sei

rational, falsch.

Die vorangegangenen Beispiele sind nicht darauf angewiesen, dass das Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten zur Verfügung steht, wenn man „x ist irrational“ als „x ist nicht rational“ definiert. Was die Form angeht, ist das zweite eher ein direkter Beweis einer Negation.

Ein Beispiel, für das tatsächlich <a href="Klassische_Logik" title="Klassische Logik">klassische Logik</a> benötigt wird (und wir verwenden das Prinzip des indirekten Beweises ineffizienterweise zunächst ausschließlich ganz außen):

Behauptung: (C): <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lnot (\alpha \to \beta )\to \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lnot (\alpha \to \beta )\to \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc9f0dbe27e1fbc65cadcab3ef15f4040bc146ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.895ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lnot (\alpha \to \beta )\to \alpha }" loading="lazy">.

Beweis: Wir nehmen die Negation von (C), also (A): <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lnot (\lnot (\alpha \to \beta )\to \alpha )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lnot (\lnot (\alpha \to \beta )\to \alpha )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3bcc03d719a4cc00ea107a522122d56eae7b2863.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.255ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lnot (\lnot (\alpha \to \beta )\to \alpha )}" loading="lazy">, an und führen diese Annahme zu einem Widerspruch:

Zunächst gilt (B): <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \to \beta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \to \beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0cea747f53e5d63b0f18b8d09505054d8150ee80.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha \to \beta }" loading="lazy">, denn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> angenommen, gilt natürlich auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lnot (\alpha \to \beta )\to \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lnot (\alpha \to \beta )\to \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc9f0dbe27e1fbc65cadcab3ef15f4040bc146ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.895ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lnot (\alpha \to \beta )\to \alpha }" loading="lazy">, was (A) widerspricht.

Daher gilt aber auch (C), denn, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lnot (\alpha \to \beta )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lnot (\alpha \to \beta )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c2bbd74b49b6433d09f6513692d0412178ba79cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.793ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lnot (\alpha \to \beta )}" loading="lazy"> angenommen, haben wir einen Widerspruch zu (B).

(C) widerspricht nun offenbar der Annahme (A), wir haben also den gewünschten Widerspruch.

Besserer Beweis: Wir nehmen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lnot (\alpha \to \beta )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lnot (\alpha \to \beta )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c2bbd74b49b6433d09f6513692d0412178ba79cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.793ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lnot (\alpha \to \beta )}" loading="lazy"> an und zeigen unter dieser Annahme <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy">, indem wir <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lnot \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lnot \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e9a1860c0e332d32f8e76cbfb6eb08c2a3259ca8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.038ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \lnot \alpha }" loading="lazy"> zu einem Widerspruch führen: Gilt nämlich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lnot \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lnot \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e9a1860c0e332d32f8e76cbfb6eb08c2a3259ca8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.038ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \lnot \alpha }" loading="lazy">, dann auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \to \beta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \to \beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0cea747f53e5d63b0f18b8d09505054d8150ee80.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha \to \beta }" loading="lazy">, weil die Annahme von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> zu einem Widerspruch führt. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \to \beta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \to \beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0cea747f53e5d63b0f18b8d09505054d8150ee80.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha \to \beta }" loading="lazy"> widerspricht dann aber der globalen Annahme.

An diesem Beispiel sieht man einen Hinweis zur Pragmatik des Beweisfindens: In der Regel ist es von Vorteil, das Prinzip des indirekten Beweisens möglichst spät anzuwenden und so lange, wie es geht, Pfade zum Finden direkter Beweise zu verfolgen.

Überdies zeigt die <a href="Beweistheorie" title="Beweistheorie">Beweistheorie</a>, dass man durch Verfolgen der Strategie, das Prinzip des indirekten Beweisens möglichst spät anzuwenden, und dabei keine unmotivierten Wahlen zu treffen, nicht in einer Situation landen kann, in der man Unmögliches zu beweisen hat, ein früheres Abbiegen auf einen Pfad zu einem indirekten (Teil-)Beweis aber von Erfolg gekrönt gewesen wäre.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Vollständige_Induktion">Vollständige Induktion</h3></div>

Der Beweis durch <a href="Vollst%C3%A4ndige_Induktion" title="Vollständige Induktion">vollständige Induktion</a> ist ein oft angewendetes Verfahren zum Beweis von Sätzen der Form

„Für jede <a href="Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürliche Zahl</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> gilt …“. Dazu zeigt man zuerst, dass die Aussage für

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26819344e55f5e671c76c07c18eb4291fcec85ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=0}" loading="lazy"> (oder auch einen anderen Anfangswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/63584d203ecb012a7bcb90f422408bbfe4018956.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.449ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle n_{0}}" loading="lazy">) gilt, und danach, dass sie immer auch für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a135e65a42f2d73cccbfc4569523996ca0036f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n+1}" loading="lazy"> gilt, wenn sie für ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> gilt. Die vollständige Induktion lässt sich mit einem <a href="Domino-Effekt" class="mw-redirect" title="Domino-Effekt">Domino-Effekt</a> veranschaulichen. Man stellt die Steine so auf, dass, wenn einer umfällt, auch immer der nächste umfällt (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> → <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a135e65a42f2d73cccbfc4569523996ca0036f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n+1}" loading="lazy">), und stößt den ersten Stein um (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26819344e55f5e671c76c07c18eb4291fcec85ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=0}" loading="lazy">).

Ein einfaches Beispiel:

Behauptung: Es gilt für alle natürlichen Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1+3+\dotsb +(2n+1)=(n+1)^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+3+\dotsb +(2n+1)=(n+1)^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d18877abab6516b9795b76b755bfaa447161c0fe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.298ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle 1+3+\dotsb +(2n+1)=(n+1)^{2}}" loading="lazy">

Beweis:

<ol><li>Die Behauptung gilt für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26819344e55f5e671c76c07c18eb4291fcec85ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=0}" loading="lazy">: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (2\cdot 0+1)=1=(0+1)^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2\cdot 0+1)=1=(0+1)^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/275ae42e6a3ca50869ba390d6b1e9f3ec1fbbbff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.204ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (2\cdot 0+1)=1=(0+1)^{2}}" loading="lazy"> ist eine wahre Aussage.</li>

<li>Die Behauptung sei für ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> gültig. Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a135e65a42f2d73cccbfc4569523996ca0036f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n+1}" loading="lazy"> untersucht man die Summe</li></ol>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+3+\dotsb +(2n+1)+(2n+3)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8000aaaeeef89369d8868976ade1cc04aaec4a00.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.148ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1+3+\dotsb +(2n+1)+(2n+3)}" loading="lazy"></dd>

<dd>Da die Behauptung für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> gültig ist, folgt</dd>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}1+3+\dotsb +(2n+1)+(2n+3)&=(n+1)^{2}+(2n+3)\\&=(n+1)^{2}+2(n+1)+1\\&=((n+1)+1)^{2}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/009b7121529d0cb7fc51d3f88d6932c33ae17608.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.072ex; margin-bottom: -0.266ex; width:60.472ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}1+3+\dotsb +(2n+1)+(2n+3)&=(n+1)^{2}+(2n+3)\\&=(n+1)^{2}+2(n+1)+1\\&=((n+1)+1)^{2}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd>

<dd>Also gilt die Behauptung auch für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a135e65a42f2d73cccbfc4569523996ca0036f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n+1}" loading="lazy">, damit ist die Aussage nach dem Induktionsprinzip bewiesen.</dd></dl></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Vollständige_Fallunterscheidung">Vollständige Fallunterscheidung</h3></div>

Bei einem Beweis durch vollständige Fallunterscheidung (engl. proof by exhaustion „durch Ausschöpfung“) wird jeder der möglichen Fälle einzeln betrachtet. Die Zahl der möglichen Fälle muss daher endlich sein.

Behauptung: Jede <a href="Primzahl" title="Primzahl">Primzahl</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p\geq 3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\geq 3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e03c7532d480d32699b89944f202a706a5edf7bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:5.52ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p\geq 3}" loading="lazy"> hat die Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=4\cdot k\pm 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=4\cdot k\pm 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a67e4e8eae7df24a71bb5e746d135217d0a0bff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:12.413ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p=4\cdot k\pm 1}" loading="lazy"> mit einer

natürlichen Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy">.

Beweis:

Man unterscheidet folgende vier Fälle für die Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy">, von denen immer genau einer eintritt:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=4k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e437ca02801027f8e554c5a524292e5233f17b65.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.731ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p=4k}" loading="lazy"></li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=4k+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3566938ad2664e7cb1d4486a454e163f819711f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:10.734ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p=4k+1}" loading="lazy"></li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=4k+2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8726e00cbede403ed7e1d8c5537b32a662d97c16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:10.734ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p=4k+2}" loading="lazy"></li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=4k+3=4(k+1)-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a5dfe6a36904b7a20a8adc56ee77a0fd5b8963.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:26.021ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p=4k+3=4(k+1)-1}" loading="lazy"></li></ol>

Im ersten dieser Fälle ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> durch 4 teilbar und damit keine Primzahl, im dritten Fall ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> durch 2 teilbar und somit ebenfalls keine Primzahl. Also muss einer der Fälle zwei oder vier eintreten, das heißt, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> hat die Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=4\cdot k\pm 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=4\cdot k\pm 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a67e4e8eae7df24a71bb5e746d135217d0a0bff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:12.413ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p=4\cdot k\pm 1}" loading="lazy"> mit einer natürlichen Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy">.

Es sei angemerkt, dass die Fallunterscheidung zwar vollständig sein muss, aber die untersuchten Fälle sich

nicht gegenseitig ausschließen müssen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schubfachprinzip/Taubenschlagprinzip">Schubfachprinzip/Taubenschlagprinzip</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Schubfachprinzip" title="Schubfachprinzip">Schubfachprinzip</a></div>

Das <a href="Schubfachprinzip" title="Schubfachprinzip">Schubfachprinzip</a> geht auf den deutschen Mathematiker <a href="Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet" title="Peter Gustav Lejeune Dirichlet">Dirichlet</a> zurück und kann sehr anschaulich formuliert werden: Verteilt man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a135e65a42f2d73cccbfc4569523996ca0036f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n+1}" loading="lazy"> Gegenstände auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> Schubfächer, dann befinden sich in mindestens einem Schubfach mindestens zwei Gegenstände. Als Beispiel betrachten wir:

Behauptung: Hat <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\subset \{1,2,\ldots ,2n\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subset \{1,2,\ldots ,2n\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/faf02a13db36d4dab59a63501582353ceeb620e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.261ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\subset \{1,2,\ldots ,2n\}}" loading="lazy"> mindestens <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a135e65a42f2d73cccbfc4569523996ca0036f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n+1}" loading="lazy"> Elemente, so gibt es <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/923af80638e57592b33fa715fb6c23651729fb73.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.845ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in A}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a|b}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a|b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e801f5cb365c0f6ecd505ba404220ee7c1c43a11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.874ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a|b}" loading="lazy">.

Beweis: Alle Elemente aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> haben die Gestalt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{k}m}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{k}m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/576850aed981fcd5d20a9e22f5fa1a5cbf41c59e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.292ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2^{k}m}" loading="lazy"> mit einer ungeraden Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy">. Von diesen gibt es aber nur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> verschiedene in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{1,2,\ldots ,2n\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{1,2,\ldots ,2n\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56d5840714cd225a970194981006070829314f37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.419ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{1,2,\ldots ,2n\}}" loading="lazy">, so dass eine ungerade Zahl bei obiger Zerlegung der mindestens <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a135e65a42f2d73cccbfc4569523996ca0036f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n+1}" loading="lazy"> Zahlen aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> zweimal vorkommen muss (das ist das Schubfachprinzip). Daher enthält <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> zwei Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{k}m}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{k}m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/576850aed981fcd5d20a9e22f5fa1a5cbf41c59e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.292ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2^{k}m}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{l}m}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{l}m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b88fafd72191d27a321a8921bb38e0f40d18011.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.925ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2^{l}m}" loading="lazy"> mit derselben ungeraden Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy">. Offenbar teilt die kleinere die größere.<a href="#cite_note-1">[1]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Diagonalverfahren">Diagonalverfahren</h3></div>

Die Diagonalverfahren wurden von <a href="Georg_Cantor" title="Georg Cantor">Georg Cantor</a> zum Beweis zweier spezieller Aussagen entwickelt. Sie haben sich seitdem als allgemeine Beweismethoden bewährt.

Das <a href="Cantors_erstes_Diagonalargument" title="Cantors erstes Diagonalargument">erste Cantorsche Diagonalverfahren</a> ist ein direkter Beweis für die Abzählbarkeit einer Menge. Es wird gezeigt, dass man jedem Element der zu untersuchenden Menge eine natürliche Zahl zuordnen kann.

Das <a href="Cantors_zweites_Diagonalargument" title="Cantors zweites Diagonalargument">zweite Cantorsche Diagonalverfahren</a> ist ein indirekter Beweis

für die Überabzählbarkeit einer Menge. Es wird also das Gegenteil angenommen, nämlich dass die Menge abzählbar wäre. Dann wird aus dieser Annahme ein Widerspruch hergeleitet, sodass sie fallen gelassen werden muss.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Transfinite_Induktion">Transfinite Induktion</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Transfinite_Induktion" title="Transfinite Induktion">Transfinite Induktion</a></div>

Bei der transfiniten Induktion wird die <a href="Vollst%C3%A4ndige_Induktion" title="Vollständige Induktion">vollständige Induktion</a> auf beliebige <a href="Wohlordnung" title="Wohlordnung">wohlgeordnete</a> <a href="Klasse_(Mengenlehre)" title="Klasse (Mengenlehre)">Klassen</a> verallgemeinert.

Häufig hat man es mit Aussagen über alle <a href="Ordinalzahl" title="Ordinalzahl">Ordinalzahlen</a> zu tun. Wie auch bei der oben vorgestellten vollständigen Induktion in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }" loading="lazy"> muss man die Behauptung für die erste Ordinalzahl 0 beweisen, und dann, dass, wenn die Behauptung für eine Ordinalzahl vorausgesetzt wird, sie auch für deren Nachfolger gilt. Im Gegensatz zu obiger Induktion muss man zusätzlich zeigen, dass die Behauptung auch für jede Limesordinalzahl gilt, wenn sie für alle kleineren Ordinalzahlen zutrifft. Verzichtet man auf diesen zusätzlichen Teil, so funktioniert die transfinite Induktion nur bis unterhalb der ersten Limesordinalzahl, das heißt nur für die Ordinalzahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0,1,2,\ldots }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0,1,2,\ldots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1da8ed7e74b31b6314f23f122a1198c104fcaad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.312ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0,1,2,\ldots }" loading="lazy">. Man erhält dann die gewöhnliche vollständige Induktion in den natürlichen Zahlen, denn diese sind die Ordinalzahlen bis zur ersten Limesordinalzahl.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="In_der_Maßtheorie">In der Maßtheorie</h3></div>

Das <a href="Prinzip_der_guten_Mengen" title="Prinzip der guten Mengen">Prinzip der guten Mengen</a> wird in der Maßtheorie verwendet, um zu beweisen, dass eine Aussage für alle Elemente einer <a href="%CE%A3-Algebra" title="Σ-Algebra">σ-Algebra</a> oder eines anderen <a href="Mengensystem" title="Mengensystem">Mengensystems</a> zutrifft. Außerdem bedient man sich der <a href="Ma%C3%9Ftheoretische_Induktion" title="Maßtheoretische Induktion">maßtheoretische Induktion</a> als Beweismethode, um Aussagen für eine vorgegebene Menge von messbaren Funktionen zu zeigen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="In_der_homologischen_Algebra">In der homologischen Algebra</h3></div>

Ein Beweisverfahren der <a href="Homologische_Algebra" title="Homologische Algebra">homologischen Algebra</a> ist die <a href="Diagrammjagd" class="mw-redirect" title="Diagrammjagd">Diagrammjagd</a>. Sie findet u. a. bei den Beweisen des <a href="F%C3%BCnferlemma" title="Fünferlemma">Fünferlemmas</a>, des <a href="Schlangenlemma" title="Schlangenlemma">Schlangenlemmas</a> oder des <a href="Neunerlemma" title="Neunerlemma">Neunerlemmas</a> Anwendung.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beweisstrategien">Beweisstrategien</h2></div>

Neben den Beweismethoden gibt es einige hilfreiche Beweisstrategien: Entscheidet man sich beim Beweis einer Aussage für eine der oben beschriebenen Methoden, so hilft bei der Umsetzung dieser Methode eine Beweisstrategie.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Extremalprinzip">Extremalprinzip</h3></div>

Das Extremalprinzip tritt insbesondere bei Existenzbeweisen auf: Genauer immer dann, wenn es darum geht, die Existenz eines Objekts innerhalb einer Menge zu beweisen. Das allgemeine Extremalprinzip knüpft an der Idee an, dass dort, wo etwas extremal (etwa größtmöglich, kleinstmöglich usw.) wird, besondere Strukturen entstehen, aus denen im Rahmen der mathematischen Beweisführung wertvolle Fakten abgeleitet werden können.<a href="#cite_note-2">[2]</a> Diese Extremalität findet sich in der Mathematik häufig, etwa in folgenden Eigenschaften:

<ul><li>Jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge reeller Zahlen besitzt ein <a href="Infimum_und_Supremum" title="Infimum und Supremum">Supremum</a>, d. h. eine kleinste obere Schranke (<a href="Supremumseigenschaft" title="Supremumseigenschaft">Supremumseigenschaft</a>). Umgekehrt besitzt eine nach unten beschränkte, nichtleere Teilmenge der reellen Zahlen ein Infimum, also eine größte untere Schranke.</li>

<li>Jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen enthält eine kleinste Zahl. (<a href="Wohlordnungssatz#Eigenschaft_der_natürlichen_Zahlen" title="Wohlordnungssatz">Wohlordnungsprinzip</a>)</li></ul>

Ein Beispiel für das Extremalprinzip ist ein <a href="Satz_von_Sylvester-Gallai#Beweis" title="Satz von Sylvester-Gallai">Beweis für den Satz von Sylvester-Gallai</a>. In diesem Beweis ist das extremale Objekt, das betrachtet wird, der Abstand des Punktes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> von der Geraden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy">. In diesem Beweis werden weitere bewährte Beweismethoden verwendet.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Invarianzprinzip">Invarianzprinzip</h3></div>

Das Invarianzprinzip folgt dem Grundsatz, ein Hauptaugenmerk auf dasjenige zu richten, was invariant (d. h. unverändert) unter Veränderung bleibt. Oft versteht man ein komplexes System besser, wenn man versteht, wie sich dessen Einzelteile verhalten. Das Invarianzprinzip ist hilfreich für Möglichkeitsbeweise und Unmöglichkeitsbeweise.<a href="#cite_note-3">[3]</a>

Ein interessantes anschauliches Beispiel für das Invarianzprinzip sind bestimmte Schiebepuzzles mit genau einem freien Feld, unter anderem das sogenannte <a href="15-Puzzle" title="15-Puzzle">15-Puzzle</a>. Mit dem Invarianzprinzip kann auf ziemlich einfache Weise festgestellt werden, welche Konstellationen eines bestimmten Schiebepuzzles in welche Konstellationen überführt werden können und in welche nicht.<ul class="gallery mw-gallery-traditional">

<div class="gallerytext">Eine Ausgangskonstellation vom 15-Puzzle</div>

</li>

<div class="gallerytext">Diese Konstellation ist aus der Ausgangskonstellation erreichbar.</div>

</li>

<div class="gallerytext">Diese Konstellation ist aus der Ausgangskonstellation nicht erreichbar.</div>

</li>

</ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="„Konstruktive_Null“">„Konstruktive Null“</h3></div>

Beweise in der <a href="Analysis" title="Analysis">Analysis</a> bedienen sich oft der Strategie des Hinzuaddierens einer „konstruktiven Null“. Der Zusatz „konstruktiv“ rührt daher, dass das Addieren einer Null einen mathematischen Ausdruck zwar nicht verändert, allerdings in einigen Fällen die Grundlage für eine elegante algebraische Umformung bietet.

<dl><dt>Beispiel</dt></dl>

Möchte man zeigen, dass jede <a href="Konvergente_Folge" class="mw-redirect" title="Konvergente Folge">konvergente</a> <a href="Folge_(Mathematik)" title="Folge (Mathematik)">Folge</a> eine <a href="Cauchy-Folge" title="Cauchy-Folge">Cauchy-Folge</a> ist, so bedient man sich der „konstruktiven Null“ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0=a-a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0=a-a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4fcde34c0dbe7f3409fa72916139eef053fc6dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.561ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 0=a-a}" loading="lazy">, um die <a href="Dreiecksungleichung" title="Dreiecksungleichung">Dreiecksungleichung</a> auszunutzen. Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70f0c27000fbc03d920b5b678949a0043ad269bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.759ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}" loading="lazy"> eine beliebige konvergente Folge und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> ihr <a href="Grenzwert_(Folge)" title="Grenzwert (Folge)">Grenzwert</a>. Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon >0}" loading="lazy">, dann gibt es nach Definition der (Folgen-)Konvergenz ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N\in \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b985ba501f78cb9890f3ecda3e2e315cbd5cb26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.582ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N\in \mathbb {N} }" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |a-a_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |a-a_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/abc385066be9417b1e655f7dd73b8cc19613ea82.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.909ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle |a-a_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |a-a_{m}|<{\frac {\varepsilon }{2}}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |a-a_{m}|<{\frac {\varepsilon }{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e9447c36a0286e094626cd4d8538ad4b4beb4b04.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.366ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle |a-a_{m}|<{\frac {\varepsilon }{2}}}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n,m\geq N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n,m\geq N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1eb73d96f0ffd72be0de5d444edb1045c20a4f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.631ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n,m\geq N}" loading="lazy">. Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n,m\geq N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n,m\geq N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1eb73d96f0ffd72be0de5d444edb1045c20a4f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.631ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n,m\geq N}" loading="lazy"> nun beliebig, so gilt:

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |a_{n}-a_{m}|=|a_{n}\overbrace {-a+a} ^{=0}-a_{m}|=|(a_{n}-a)+(a-a_{m})|\leq |a_{n}-a|+|a_{m}-a|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/260173a93c8d02ce6fb2384215236d8ddd54f32c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:89.663ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle |a_{n}-a_{m}|=|a_{n}\overbrace {-a+a} ^{=0}-a_{m}|=|(a_{n}-a)+(a-a_{m})|\leq |a_{n}-a|+|a_{m}-a|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }" loading="lazy">

Somit ist jede konvergente Folge sogleich eine Cauchy-Folge, was zu beweisen war. Der Beweis lebt vom Hinzuaddieren einer „konstruktiven Null“ im zweiten Schritt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Praktische_Relevanz">Praktische Relevanz</h2></div>

Einige mathematische Beweise haben direkt oder indirekt eine erhebliche praktische Relevanz für das tägliche Leben, zum Beispiel der Beweis, dass jede <a href="Ganze_Zahl" title="Ganze Zahl">ganze Zahl</a> eine eindeutige Darstellung im <a href="Dezimalsystem" title="Dezimalsystem">Dezimalsystem</a>, <a href="Dualsystem" title="Dualsystem">Dualsystem</a> (Binärsystem), <a href="Hexadezimalsystem" title="Hexadezimalsystem">Hexadezimalsystem</a> und jedem anderen <a href="Stellenwertsystem" title="Stellenwertsystem">Stellenwertsystem</a> hat. Jede beliebig große ganze Zahl lässt sich auf solche Weise darstellen und keine ganze Zahl hat mehrere Darstellungen in einem bestimmen Stellenwertsystem. Für <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reelle Zahlen</a> und <a href="Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplexe Zahlen</a> gilt das im Wesentlichen ebenfalls.

Wichtig ist auch der Beweis für den <a href="Hauptsatz_der_Differential-_und_Integralrechnung" class="mw-redirect" title="Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung">Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung</a>, der zum Beispiel für die Berechnung und von <a href="Volumen" title="Volumen">Volumen</a> und <a href="Oberfl%C3%A4chenintegral" title="Oberflächenintegral">Oberflächen</a> von physischen Objekten relevant ist, beim Thema <a href="Beschleunigung" title="Beschleunigung">Beschleunigung</a> oder anderen <a href="Physik" title="Physik">physikalischen</a> Themen.

Viele mathematische Beweise betreffen nicht nur die <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a>, sondern auch die <a href="Informatik" title="Informatik">Informatik</a>. Einer der relevantesten ist der Beweis, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> vergleichbare Objekte bei gegebener <a href="Hardware" title="Hardware">Hardware</a> prinzipiell nicht schneller sortiert werden können als in einer <a href="Laufzeit_(Informatik)" title="Laufzeit (Informatik)">Laufzeit</a>, die <a href="Proportionalit%C3%A4t" title="Proportionalität">proportional</a> zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\cdot \log(n)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\cdot \log(n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29b95cd3757695fe6d398d195803ad67736f133e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.25ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n\cdot \log(n)}" loading="lazy"> ist (<a href="Sortierverfahren#Beweis_der_unteren_Schranke_für_vergleichsbasiertes_Sortieren" title="Sortierverfahren">Beweis der unteren Schranke für vergleichsbasiertes Sortieren</a>). Relevant ist auch die Tatsache, dass unter anderem der <a href="Dijkstra-Algorithmus" title="Dijkstra-Algorithmus">Dijkstra-Algorithmus</a> und der <a href="Bellman-Ford-Algorithmus#Korrektheitsbeweis" title="Bellman-Ford-Algorithmus">Bellman-Ford-Algorithmus</a> immer kürzeste <a href="Weg_(Graphentheorie)" title="Weg (Graphentheorie)">Wege</a> von Startknoten zu Zielknoten liefert. Als wissenschaftliche Grundlage für diese Algorithmen werden sogenannte kantengewichtete <a href="Graph_(Graphentheorie)" title="Graph (Graphentheorie)">Graphen</a> verwendet.

Andere mathematische Beweise haben keine praktische Relevanz. Das gilt zum Beispiel für viele Beweise der sogenannten <a href="Zahlentheorie" title="Zahlentheorie">Zahlentheorie</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Computerbeweise_und_maschinengestütztes_Beweisen">Computerbeweise und maschinengestütztes Beweisen</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Maschinengest%C3%BCtztes_Beweisen" title="Maschinengestütztes Beweisen">Maschinengestütztes Beweisen</a></div>

Maschinengestütztes Beweisen basiert auf der Verwendung von Computerprogrammen zur Erzeugung und Überprüfung von mathematischen Beweisen logischer <a href="Theorem" title="Theorem">Theoreme</a>. Im Unterschied zu einem Computerbeweis wird versucht, den gesamten formalen Beweis bestehend aus Schritten und Zwischenergebnissen zu konstruieren.

Unzählige <a href="Numerische_Mathematik" title="Numerische Mathematik">numerische</a> Berechnungen sind kein allgemeingültiger Computerbeweis. Zum Beispiel ist die <a href="Programmierung" title="Programmierung">Programmierung</a> von Integralberechnungen (<a href="Simpsonregel" title="Simpsonregel">Simpsonregel</a> usw.) kein Beweis für den <a href="Hauptsatz_der_Differential-_und_Integralrechnung" class="mw-redirect" title="Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung">Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung</a>.

Der <a href="Vier-Farben-Satz" title="Vier-Farben-Satz">Vier-Farben-Satz</a> und die <a href="Keplersche_Vermutung" title="Keplersche Vermutung">Keplersche Vermutung</a> sind bekannte Beispiele für maschinengestütztes Beweisen. Für den Vier-Farben-Satz gab es kurioserweise einen Beweisversuch, der später als unvollständig erkannt und widerlegt wurde.

Computerbeweise für mathematische Aussagen haben insofern eine andere Qualität als die <a href="Experimentalphysik" title="Experimentalphysik">Experimentalphysik</a> oder andere <a href="Statistik" title="Statistik">statistische</a> Erhebungen, weil sie nicht von der Anzahl der Experimente oder der Anzahl der untersuchten Dinge abhängen und nur bedingt das Problem von <a href="Messabweichung" title="Messabweichung">Messabweichungen</a> haben.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Beweis_(Logik)" title="Beweis (Logik)">Beweis (Logik)</a></li>

<li><a href="Ableitung_(Logik)" title="Ableitung (Logik)">Ableitung (Logik)</a></li>

<li><a href="Quod_erat_demonstrandum" title="Quod erat demonstrandum">Quod erat demonstrandum</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Martin Aigner, Günter M. Ziegler: <a href="Das_BUCH_der_Beweise" class="mw-redirect" title="Das BUCH der Beweise">Das BUCH der Beweise</a>. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-40185-7</li>

<li><a href="Wolfgang_Rautenberg" title="Wolfgang Rautenberg">Wolfgang Rautenberg</a>: <cite style="font-style:italic">Einführung in die <a href="Mathematische_Logik" title="Mathematische Logik">Mathematische Logik</a></cite>. 3. Auflage. <a href="Vieweg%2BTeubner_Verlag" class="mw-redirect" title="Vieweg+Teubner Verlag">Vieweg+Teubner</a>, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0578-2, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-8348-9530-1">10.1007/978-3-8348-9530-1</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Beweis+%28Mathematik%29&rft.au=Wolfgang+Rautenberg&rft.btitle=Einf%C3%BChrung+in+die+Mathematische+Logik&rft.date=2008&rft.doi=10.1007%2F978-3-8348-9530-1&rft.edition=3.&rft.genre=book&rft.isbn=9783834805782&rft.place=Wiesbaden&rft.pub=Vieweg%2BTeubner" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Beweis" class="extiw external" title="b:Mathe für Nicht-Freaks: Beweis">Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Beweis</a> – Lern- und Lehrmaterialien</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv" class="extiw external" title="b:Beweisarchiv">Wikibooks: Beweisarchiv</a> – Lern- und Lehrmaterialien</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.zeit.de/2003/34/T-Orangenstapel">Die Zeit: Obst in Formeln</a> (zur Problematik eines Beweises mit Computer)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> M. Aigner, G. M. Ziegler: Proofs from THE BOOK, Springer-Verlag 1998, ISBN 3-540-63698-6, Kapitel 20: Pigeon-hole and double counting.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Daniel Grieser: <cite style="font-style:italic">Mathematisches Problemlösen und Beweisen: Eine Entdeckungsreise in die Mathematik</cite>. 2. Auflage. Springer Spektrum, 2016, ISBN 978-3-658-14764-8, S. 213–214.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Beweis+%28Mathematik%29&rft.au=Daniel+Grieser&rft.btitle=Mathematisches+Probleml%C3%B6sen+und+Beweisen%3A+Eine+Entdeckungsreise+in+die+Mathematik&rft.date=2016-11&rft.edition=2&rft.genre=book&rft.isbn=9783658147648&rft.pages=213-214&rft.pub=Springer+Spektrum" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Daniel Grieser: <cite style="font-style:italic">Mathematisches Problemlösen und Beweisen: Eine Entdeckungsreise in die Mathematik</cite>. 2. Auflage. Springer Spektrum, 2016, ISBN 978-3-658-14764-8, S. 248.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Beweis+%28Mathematik%29&rft.au=Daniel+Grieser&rft.btitle=Mathematisches+Probleml%C3%B6sen+und+Beweisen%3A+Eine+Entdeckungsreise+in+die+Mathematik&rft.date=2016-11&rft.edition=2&rft.genre=book&rft.isbn=9783658147648&rft.pages=248&rft.pub=Springer+Spektrum" style="display:none">

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-12-23" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Beweis_(Mathematik)&oldid=262676137">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>